Решили ли вы задачу? «Падение с башни» Исаака Ньютона
Решение семнадцатого века
Ранее сегодня я предложил вам головоломку, которую Исаак Ньютон поставил в письме Роберту Гуку в 1679 году. Я отметил, что ответ контринтуитивен, и дал подсказку, что это может как-то быть связано с фигурным катанием. Вот задача снова, с её решением.
Задача
Предмет сбрасывают с высокой башни. Учитывая вращение самой Земли, где окажется предмет?
Земля вращается с запада на восток.
Первой мыслью может быть, что предмет упадёт чуть западнее, аргументируя это тем, что пока предмет падает, Земля немного повернётся на восток.
Но такой аргумент игнорирует тот факт, что предмет изначально — как и сама башня — вращается вместе с Землёй. Вторая мысль может быть, что он упадёт точно у основания башни.
И снова неверно! Предмет приземлится немного восточнее, потому что по мере падения он немного ускоряет собственное вращение вокруг оси, по сути тем же механизмом, который заставляет фигуриста вращаться быстрее, когда он прижимает руки к телу. Именно поэтому предмет падает слегка к востоку.
Эффект невелик, но не ничтожен. Если бы Эйфелева башня стояла на экваторе, отклонение на восток составило бы примерно 11 см.
Техническое объяснение
В более техническом изложении результат следует из сохранения момента количества движения, который является мерой вращательного движения объекта вокруг оси.
Когда предмет падает с башни, гравитация тянет его к центру Земли. Вместе с тем предмет движется по окружности вокруг центра Земли.
По мере падения его угловой момент остаётся постоянным. Это означает, что выражение ωr² — где ω — угловая скорость предмета, а r — расстояние до оси вращения (в данном случае до центра Земли) — остаётся постоянным.
Поскольку r уменьшается во время падения, значение ω должно увеличиться, то есть предмет вращается быстрее. Если он вращается быстрее, чем Земля, он приземлится немного восточнее точки прямо под башней.
Благодарность Дэвиду Эчесону за сегодняшнюю головоломку. Он автор новой книги «Чудеса движения. История динамики», которая, среди прочего, подробно объясняет исторический фон задачи Ньютона.
Надеюсь, вам было интересно. Я вернусь через две недели.
Книга «Wonders of Motion» Дэвида Эчесона продаётся в книжном магазине Guardian.
С 2015 года я публикую здесь головоломку по понедельникам через одну неделю. Я всегда в поиске отличных задач. Если хотите предложить задачу, напишите мне по электронной почте.